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2次元カオス図形を芸術的に描画する

エノン写像、グモウスキー・ミラ写像の探索

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2006/02/28 12:00

コンピュータで美しい図形を描画する方法にカオス写像があります。なかでも、特に美しいとされる2次元モデルのエノン写像、グモウスキー・ミラ写像を、多くの試行結果を基に紹介します。

目次

はじめに

 コンピュータで美しい図形を描画する方法にカオス写像があります。なかでも、特に美しいとされる2次元モデルを、多くの試行結果を基に紹介します。

対象読者

 カオス理論に興味があり、カオス図形を自分で描いてみたい人。

必要な環境

 J2SE 5.0を使っていますが、これより古いバージョンでも大丈夫です。ある程度のCPUパワーがある方が、ストレスがありません。

カオスとは

 カオス(Chaos)とは、一般的な用語としては、「混沌」や「無秩序」と訳され、あまり良い意味ではありません。しかし、数学や物理学の用語としては、

  1. 簡単な一定の式の繰返し計算の結果である(決定論的(deterministic)カオス)
  2. 初期状態のわずかな違いが大きな変化をもたらす(バタフライ効果、1963年にLorenzが命名)
  3. 同じ値を繰り返さない乱数的動作で予測できない

 などを意味し、結果的に「無秩序」のように見えても、実は非常に簡単な式によって支配されていという興味深いテーマです。

 カオスとフラクタルは、良く同時に論じられます。カオスは、繰返し計算による写像の動きに注目し、フラクタルはその軌跡に注目したものです。たとえば、3次元カオスモデルのローレンツ・アトラクタの断面には、フラクタル性が見られます。

1次元モデル

 カオスの例として良く紹介されるのは、動物の増殖モデルとしてのの繰返しです。これは、xのみが時間と共に変化する非常に簡単な1次元モデルで、1976年にRobert Mayがカオス性を発表し、ロジスティック写像と呼ばれます。カオス理論的には重要でありますが、美的なものではありません。

3次元モデル

 次に有名なのが、それぞれ時間tの関数であるx、y、zの3元非線形常微分方程式の解として得られるローレンツ・アトラクタ(Lorenz Attractor)です。これは、米国の気象学者でMIT(マサチューセッツ工科大学)のEdward Lorenzが1963年に発表したものです。これは3次元図形として描かれ、平面に投影すると、蝶の羽根のように見えたり(バタフライ)、フクロウの眼のように見えたり(オウル)します。アトラクタですから、発散することなく、一定の範囲内を動き回りますが、形状に興味はあるものの、それほど美しいとはいえません。


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修正履歴

  • 2008/03/16 10:34 参考資料をVisual C++ 2005 Express Edition版に訂正

  • 2008/01/20 16:59 「グモウスキー・エノン」(誤り)を「グモウスキー・ミラ」に修正(3ヶ所)

著者プロフィール

  • 石立 喬(イシダテ タカシ)

    1955年東京工大卒。同年、NECへ入社し、NEC初のコンピュータの開発に参画。磁気メモリ、半導体メモリの開発、LSI設計などを経て、1989年帝京大学理工学部教授。情報、通信、電子関係の教育を担当。2002年定年により退職し現在に至る。2000年より、Webサイト「Visual C++の勉強部屋」...

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