Appendix 直線／平面のベクトル表現について
ここでは、直線、平面などのベクトル表示について、簡単に解説します。
Appendix A. 直線のベクトル表示
直線は以下のいずれかによって決定されます：
-
（A.1） 二点
,
（二点を通る直線）
-
（A.2） 一点と、直線の向かう方向
（二点を通る直線）
直線上の任意の点
をベクトルで表すと、
-
（A.1）
-
（A.2）
となります（tは任意の実数）。
今回のように、直線が
を基点とした「向き」を持った光線の場合は、
が、光線の進む範囲になります。
図（直線）
プログラムでは、光線の初期化で（A.1）の定義を使い、光線の反射で（A.2）の定義を使いました。
Appendix B. 平面のベクトル表示
平面は、以下のいずれかで決定されます：
-
（B.1） 三点
,
,
（三点を通る平面）
-
（B.2） 平面上の一点と、平面の法線ベクトル
,
,
（三点を通る平面）
（B.1）の場合、法線ベクトル
は、外積xを使って、
と定義されます。
プログラムでは長さを調整して、法線ベクトルを単位ベクトル化しておきました（
）。
平面上の任意の点 は、以下の式を満たすものになります：
図（平面）
プログラムでは、鏡の定義に（B.1）を使いました。
Appendix C. 直線と平面の交点
直線と平面の交点は、（A）,（B）を使って、それぞれベクトル表示しておき、これらをについて解くことで得られます（交点＝直線と平面の両方に属する点）。
交点を
として、
を具体的に書くと、
と、なります。
図（直線と平面の交差）
Appendix D. 直線の反射
直線の反射では、入射ベクトル（
）、法線ベクトル（）、反射ベクトル（
）が、菱形を形作ることが知られています（下図参照）。
これを、条件式であらわすと、
-
-
（
は定数）
（
は定数）
となります。これを解くと、
となります（ただし、
は単位行列）。つまり、
とすると、反射方向は行列
によって定義される線形変換
になっていることが分かります。
図（直線の反射）
